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    「......」

    書房內。

    看著高斯遞到面前的這份全新手稿，徐雲的臉上不由冒出了一股好奇。

    這裡頭的內容會是什麼？

    要知道。

    在數學領域裡，親和數屬於數論的一個分支。

    和它能搭上邊的『親戚』如果真要一個數，符合條件的例子實在是太多太多了。

    比如素數、等和數，孤立數，公和數等等一大堆都是......

    甚至你硬要扯的話。

    非歐幾何都能和數論扯上關係：

    因為非歐幾何也是一個一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，符合哥德爾不完備定理。

    因此單靠高斯的介紹，徐雲確實猜不出這份手稿的內容，只能親自觀閱才知道了。

    隨後他伸出雙手，小心的接過手稿。

    接著他又想到了什麼，停下動作，對高斯問道：

    「高斯教授，這份手稿是您給我的，看完算.....」

    結果徐雲話未說完，高斯便無情的打消了他的念頭：

    「當然要記入五卷之一。」

    徐雲只能聳聳肩。

    好吧，卡邏輯bug失敗。

    不過總體上問題不大，畢竟這五卷手稿的機會本身便是個意外之喜。

    隨後他又打量了一番手稿外部，發現手稿只被一根紅絲帶綁著，沒有看到類似親和數那種寫有大致內容的封條。

    見此情形。

    徐雲頓時目光一凝，心中的重視度又提高了幾分：

    不通過標題索引就能找出來的手稿，說明它在高斯心中的地位一定不一般，至少不需要靠著封條來進行記憶提示。

    想到這裡。

    徐雲解絲帶的動作不由快了幾分，看上去就像是在解...解鞋帶一樣。

    嗯，解鞋帶，不要多想。

    小半分鐘後。

    一卷攤平的稿紙出現了在了徐雲面前。

    徐雲捏著稿紙上半部的兩角，像是催更黨倒著拎作者似的將其拿起，目光逐行逐字的看了下去。

    幾秒鐘後。

    徐雲的瞳孔驟然一縮，大驚之下，手中的手稿險些脫手落地！

    只見這份稿紙的開頭處，赫然便寫著一行字：

    《有關奇完全數不存在的證明》

    這個標題的正確讀法是【有關/奇完全數/不存在/的證明】，其中最關鍵的核心就是中間的兩個詞：

    奇完全數、不存在。

    了解數論的同學應該都知道。

    這兩個詞若是同時出現在後世的2022年，註定將會在數學界中引發一場大地震。

    早先提及過。

    在徐雲穿越來的2022年，親和數在數學界中的地位一直都有些尷尬：

    一方面。

    親和數可以通過計算機窮舉列出，跟生產線似的比較約數和。

    符合條件的輸出yes，反之便是no，一鍵搞定。

    截止到2022年8月15日凌晨3點34分，已經發現的親和數便超過了11994387對。

    其中最長的一對數長達2400多萬位——請注意，不是2400萬這個數字，而是2400萬位，一個億是九位數。

    如果實在不太好理解這個概念，可以把「位」看成一個字。

    2400萬位數，也就是相當於2400萬字的網絡小說。

    如果筆者把這個數列出來，咱們這本書的字數立刻就可以竄到起點前幾......

    其實這還不算是最離譜的，上一章提到的圓周率才最嚇人——它已經被計算到100萬億位了。（感謝讀者的指正，我查了一下62萬億記錄確實被刷新了，才八個月不到，太快了）

    創下這個記錄的是谷歌雲工程師emma haruka iwao，一位霓虹人。

    ta使用了25台谷歌虛擬機，前後花了158天，最後在今年6月份創下了這個記錄。

    這位也是19年計算出了31.4萬億位圓周率的項目領頭人，不過比起ta的成就，這位的取向也相當微妙：

    從前面的ta就不難看出，這位大佬是個生理女性、心理男性的女同支持者......

    所以徐雲有時候還挺納悶的，這年頭有本事的人都喜歡給自己加buff麼？

    ok，話題再回歸原處。

    計算機既然可以篩選出這麼多位的親和數，那麼為啥還說它尷尬呢？

    原因很簡單。

    那就是親和數的具體規律依舊沒有完全被破解，計算機靠的是窮舉法而已。

    這種方法這導致了這些親和數中，又出現了另一部分『變異』並且未知的數字。

    比如說12496。

    你將它的約數加起來，會得到14288這個數。

    再將14288的約數加起來，會得到15472；

    然後持續這個過程。

    15472會變成14536.....

    14536會變成14264......

    14264則會變成.....

    12496。

    沒錯。

    五次變化之後，正好回到了起點。

    這種數就叫做交際數。

    由於它的朋友圈比親和數...或者說相親數更廣一些，因此也有人叫它海王數。

    而除了交際數之外，還有一個數同樣特殊到了極致。

    那就是完全數，也叫做完美數。

    這個數的概念其實很簡單：

    當你把它們的約數相加，就會得到它們自身。

    最小的例子是6。

    6的約數是1、2和3，而1+2+3=6。

    之後是28，因為28=1+2+4+7+14。

    28的下一個完全數是496，再接下來就是一個比較大的跨越，到了8128。

    至於再往後嘛......

    就越來越荒唐了。

    比如8128的下一個完全數是33550336，接下來是8589869056，後腳緊跟著的是137438691328。

    再後面那個拖後腿的則是2305843008139952128，看上去跟報身份證似的......

    截止到徐雲穿越的時候，完全數一共只有51個。

    目前已知的最大完全數是在2018年發現的，有49724095位數字，約數多達1115770321個。

    它相當於4900萬字的小說，是上面最大親和數的足足兩倍，二者加起來，全網只有《宇宙巨校閃級生》的字數比它兩多.....

    這其實是個非常令人頭皮發麻的事兒：

    想想看吧。

    它的1115770321個約數，結果加起來竟然恰好等於自身......

    所以後世許多人之所以會認為數學中隱藏著宇宙的奧秘，並不是他們為了提高自身行業重視度說出的貼金言論，而是有些數字真的精妙到了極致。

    另外，數學這門學科也在哲學角度反映出了宇宙黑暗而又殘酷的現實——你不會就是不會，寫個解頂多就得一分，神仙都救不了你......

    咳咳......

    除了約數方面的特性之外，完全數還有兩個特殊的地方：

    一個是目前發現的所有完全數都和梅森素數一一對應，無一例外。

    也就是找到了多少個梅森素數，便有多少個完全數。

    如今執行相關計算的是一個叫做gimps的項目組，14年的時間裡一共找到了10個梅森素數...或者說完美數。

    華夏國家隊目前在這個項目組的貢獻度排名第八，總貢獻大概是1.5%左右。

    順便分享一個網址，叫做equn.com，這是華夏分布式計算總站的官網。

    如果想以自己的方式對數學或別的自然科學的研究做出一點微小的貢獻，可以挑選一個合你胃口的項目申請加入。

    而除了完全數都和梅森素數一一對應之外。

    完全數的第二個特殊之處便是......

    目前所有發現的完全數都是偶數，均以6和28結尾。

    後世還沒有找到一個奇完全數，但同樣也沒有它不存在性的證明。

    2022年對於奇完全數的唯一認知，便是奧斯丁·歐爾提出的證明：

    若有奇完全數，則其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素數。

    也就是說即使存在奇完全數，它最少都在10的1500次方以上。

    然後就沒了。

    沒錯，沒了——數學界對於奇完全數基本上再無理論方向上的進展。

    當然了。

    這裡是指沒有成果誕生，並不是說所有人都放棄了相關計算工作。

    只是徐雲沒想到的是......

    這個後世令無數人頭疼乃至頭禿的問題，高斯似乎...好像...大概...也許...貌似......

    在1850年就解決了？

    媽耶！

    徐雲敢拿自己壓根就不存在的存稿打賭，後世高斯存世的『遺物』中，一定沒有這麼一份手稿！

    想到這裡。

    徐雲已然抑制不住內心的激動，開始認真的查閱了起來。

    手稿的第一卷不是計算推導過程，而是一張類似日記的隨筆。

    「1831年小巷，9月晴朗，法拉第更新的第七章，發電機繼續推向人類發展的下一行......」

    「9月15日，料理完米娜葬禮，心情悲痛萬分。」

    「沉寂七日過後，窗外忽然傳來特雷澤的朗誦聲，【肥魚先生扶起年輕的牛頓爵士，對他說，牛頓先生，車已經備好了，不要停下來啊】！」

    「先賢之言如同黑夜中的亮光，令我重新擁有了向前看的勇氣。」

    「恰好狄利克雷到訪，偶見他手中維爾茨堡大學修訂的『數學未解之謎』，玩心漸起。」

    「於是隨手寫下幾個小紙片，摺疊成團，找來特雷澤隨意抽取其一，上面的題目是『奇完全數是否存在』。」

    「後花費四小時三十五分鐘寫下此稿，提上褲子，評價......一般貨色。」

    徐云：

    「.......」

    隨後他深吸一口氣，翻到了下一頁。

    剛一翻頁，一個碩大明顯的字便出現在了他面前：

    解。

    解：

    「眾所周知。」

    「正整數n是一個偶完全數當且僅當n=2m?1(2m?1)n=2^{m-1}(2^{m}-1)n=2m?1(2m?1)其中 m ， 2 m?1m，2^{m}-1m，2^m?1 都是素數。」

    「設p是一個素數， a是一個正整數，那麼有：」

    「σ(pa)=1+p+p2+...+p^a={p^（a+1）?1}/p-1。」

    「設正整數n有素因子分解n=p^（a1/1）p^（a2/2）p^（a3/3）.....p^（as/s）。」

    「由於因子和函數σ是乘性函數，那麼：」

    「σ(n)={p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}·{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}·{p^（a3+3/1）-1}/{p3-1}......·{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}=snj1·{p^（aj+j/1）-1}/{pj-1}。（s應該在n的上面j=1在下面，不過起點不支持.....）」

    「又因為其中p是奇素數， a是正整數， s≥1。」

    「所以有{p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}＜{p^（a1+1/1）}/{p1-1}=（p1）/（p1-1）·p^（a1-1/1）≠2p^（a1-1/1）≠2p^（a1-1/1）。」

    「{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}＜{p^（a2+1/1）}/{p2-1}=（p2）/（p2-1）·p^（a2-2/1）≠2p^（a2-2/1）≠2p^（a2-2/1）」

    .......

    「{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}＜{p^（as+1/1）}/{ps-1}=（ps）/（ps-1）·p^（as-s/1）≠2p^（as-s/1）≠2p^（as-s/1）」

    「在平方數中，它們連續相加之和，乘6，有的被n乘n加1整除，等於2n加1，即2n減1是質數，2n加1是質數，故它是一對孿生素數。」

    「在2次冪，5次冪冪連續相加中，有2乘3乘5乘7……的形式，在數學計算中，反之，是計算連續相加之和，與1次冪，2次冪相同，寫出它計算的形式，即偶數加1與減1，可寫為質數與合數.....」

    「所以σ(n)≠2{p^（a1+1/1）-1}/{p1-1}·{p^（a2+2/1）-1}/{p2-1}·{p^（a3+3/1）-1}/{p3-1}......·{p^（as+s/1）-1}/{ps-1}。」

    「即σ(n)≠2n，其中n為大於1的奇數，而σ(1)=1，σ(1)=1。」

    「所以......」

    「不存在奇完全數。」（其實最後一個步驟是過不來的，取了個巧，勿要深究，靈感參考自10.3969/j.issn.1009-4822.2009.02.003）

    看著落筆處的最後一句話。

    徐雲沉默良久。

    心中的千言萬語，最終化作了一聲長嘆。

    這就是高斯啊......

    一個站在了古往今來數學史最巔峰的男人，一個征服疆域比某個小鬍子還要廣闊的德意志人。

    一卷看似隨筆般的手稿，便讓徐雲看的如痴如醉......

    忽然。

    徐雲的心中又想起了高斯此前對他說的那句話：

    「我不創造奇蹟，因為我本就是一個奇蹟。」

    這位個子不高的小老頭，憑著一身的才華聰慧，硬生生的成為了數學史上的最高峰之一。

    哪怕在徐雲穿越的後世，也依舊無人可望其項背。

    話說回來。

    小牛、老蘇、老賈、法拉第、再加上今天的高斯......

    徐雲已經記不清，這是自己第幾次感嘆先賢的智慧了。

    如果有機會，真想把自己的經歷寫成一本小說啊......

    而就在徐雲心緒紛飛之際。

    他的耳邊忽然響起了高斯的聲音：

    「羅峰同學，這卷手稿質量如何？」

    徐雲這才將思緒拉回了現實，沉思片刻，認真的對高斯說道：

    「高斯教授，在我看來，光這一篇手稿，便抵得上十個壓電陶瓷的製備技術。」

    「或許數百年之後，科技發展到了一個極其驚人的地步，人類上可飛天下可入地，但依舊會嘆服於您的智慧。」

    徐雲這番話沒有包含任何誇張的色彩，因為他確實是這樣想的。

    壓電效應的發現人是居里兄弟，這個技術說實話其實只能算中規中矩。

    後世可以取代壓電陶瓷的技術有很多，只是壓電陶瓷的成本最低、技術最成熟、製備難度也相對簡單罷了。

    而奇完全數的手稿卻不一樣。

    它可是困擾了數學界整整近350年的難題！

    雖然它在後世的地位比不過黎曼猜想或者霍奇猜想，但同樣是個相當重要的研究方向。

    雖然一直沒啥成果面世，但這並不是因為沒人去鑽研，而是因為它太難了......

    就像許多人心心念念的光刻機一樣，你可以說國內沒有成功突破，但不能否認國家沒有投入大量的精力財力於其中。

    因此在徐雲看來。

    一卷能夠解開奇完美數的手稿，價值確實比得上十個壓電陶瓷的製備工藝。

    而在他對面。

    眼見徐雲這個『肥魚後代』都如此誇讚自己，高斯的臉上頓時揚起了一絲抑制不住的笑容——以他的人生閱歷，自然看得出徐雲的誇張到底是真情還是假意。

    只見他一臉『謙虛』的擺了擺手，笑著對徐雲說道：

    「羅峰同學，過譽了過譽了，這只是一個比較普通的成果罷了，沒那麼高價值——話說你上頭那些話能等邁克爾在場的時候再講一遍不？」

    徐云：「......？」

    隨後他鄭重的將這卷手稿重新收好，放在了親和數手稿的旁邊。

    接著徐雲正打算再去翻找下一卷手稿，但即將動手之際，他的腦海中突然閃過了一道靈光。

    他這人特愛吃西瓜，但自己又不會挑，屬於菜又愛玩的情況。

    所以每次去超市，他都喜歡找那些阿姨大媽求助。

    好聲好氣之下，大多數大媽都會幫個舉手之勞。

    雖然偶爾也會因為大媽技術不精而翻車，但大多時候挑出來的瓜都要比他自己手選好得多。

    而現在的挑選手稿，不正是和挑西瓜一樣嗎.....

    而且這位遠遠不止逛市場的大媽那麼簡單，他可是種出西瓜的瓜農叻！

    什麼手稿有幫助，高斯一定比徐雲要清楚！

    想到這裡。

    徐雲連忙轉過頭，目光期盼的看著高斯，意思很明顯：

    大佬，你再幫忙挑一卷唄？

    高斯當即便意會了徐雲的想法，只見猶豫片刻，搖頭說道：

    「羅峰同學，我能贈送你五卷手稿已經算是破例了，你還想讓我親自下場挑選，這未免有些得寸進尺了吧？」

    「接下來我不會再提供意見，你能挑到什麼手稿全看你自己。」

    看著態度堅決的高斯，徐雲想了想，說道：

    「高斯教授，過幾天法拉第先生不是有個新作發布會麼，諸如威廉·惠威爾先生之類的校領導也會現身，屆時我可以趁著媒體在場的機會，夸您的手稿和肥魚先祖不分伯亻......」

    徐雲話未說完。

    他的眼前便是一晃，空氣中只留下了一道殘影和高斯的聲音：

    「你站在此地不要走動，我去給你挑點手稿！」

    徐云：

    「......」

    大佬，你tmd好歹矜持一點啊.....

    來到皮箱邊上後。

    高斯微微俯下身子，目光不停的在皮箱內掃視起來。

    該選哪幾本呢......

    過了幾秒鐘。

    他忽然眼前一亮，抽出了兩卷比較厚的手稿，撣了撣並不存在的灰塵，將它們遞給徐云：

    「羅峰同學，不出意外的話，這兩卷手稿你應該會感興趣。」

    徐雲依舊是雙手接過，檢查起了外部情況。

    這兩卷手稿與第一卷的親和數一樣，都寫著相關的標籤：

    《疊合光場研究》

    《流型度規的算符問題》

    隨後徐雲照例將它們拿到書桌上攤開，認真看了起來。

    對於徐雲這種後世來人而言，兩本書都不算很難。

    比如《疊合光場研究》上記錄的是高斯對菲涅爾衍射的研究，附加了一些拓撲荷數和方位角數據。

    如果有人按照這個方向研究，將會在光纖輸出端傳輸有所造詣。

    《流型度規的算符問題》則要複雜一些。

    它涉及到了非歐幾何以及黎曼幾何的雛形，適配了笛卡爾系的普通導數算符?。

    這個入門難度比《疊合光場研究》要高上不少，可以說是閔可夫斯基空間和瑞利近似的先行成果。

    如今瑞利不過才八歲，閔可夫斯基更是負14歲的低齡。

    高斯能夠先他們一步研究到這種程度，確實令人驚嘆。

    另外這卷手稿也確定了張量的階，等高斯作古之後，這份手稿定然能給黎曼的工作帶來極大的啟發。

    但佩服歸佩服。

    此時徐雲心中的波動，卻沒有見到第二卷手稿時那麼大。

    因為......

    《疊合光場研究》也好，《流型度規的算符問題》也罷。

    這兩份手稿質量顯然是毋庸置疑的，但它們在後世並未遺失，同時還是高斯為數不多徹底被研究透了的手稿。

    這種情況下。

    徐雲無論如何都不可能達到『欣喜若狂』的程度。

    當然了。

    這也不能說高斯輕慢了徐雲。

    恰恰相反，這兩卷手稿的含金量其實非常的足。

    如果它們在1850年現世，恐怕將會引起比奇完美數更大的反響——尤其是後者，那可是流體幾何的雛形呢。

    造成徐雲和高斯想法不對等的原因不是手稿質量，而是各自所處的時代差異。

    所處時代知識理論的完備程度，導致了二者看待問題其實並不在一個平面上。

    不過心中遺憾歸遺憾，徐雲也沒表現出其他複雜的神色。

    依舊很感激的收下了這兩卷手稿。

    畢竟這是高斯的心意，對於如今的高斯來說，這兩卷手稿可以算是半壓箱底的成果了。

    五卷手稿，如今已選其四。

    只剩下了最後一卷未定。

    這最後一卷，徐雲依舊拜託高斯進行選擇。

    「最後一卷嗎......」

    高斯站在皮箱身邊，目光快速在皮箱中掃動。

    應該選哪卷手稿給徐雲呢？

    非歐幾何的核心稿件自己已經給了小麥，以小麥和徐雲的關係，徐雲肯定也能見到那份手稿。

    所以非歐幾何的相關稿件可以排除了......

    要不選雙紐線函數的周期計算？

    或者天文學上的觀測成果？

    要不就選自己去年完成的和二次型模函數的幾何表示？

    似乎都不合適......

    過了幾秒鐘。

    高斯忽然想到了什麼。

    對了，那個東西！

    只見他彎下身彎下身，緩緩拿起了一封被獨立放在某個夾層的信件。

    隨後高斯將這封信放到了掌心，有些蒼老的手指緩緩從信封上撫過，眼中的表情猶疑不定。

    徐雲注意到。

    高斯的這種神色並非是不舍，而是有些......

    悲傷？

    徐雲揉了揉眼睛，他懷疑自己是不是看錯了——高斯的臉上怎麼會有這種表情呢？

    足足兩分鐘後。

    高斯才嘆息一聲，面色複雜的將這封信遞給了徐雲，說道：

    「羅峰同學，不出意外的話，前面的四卷手稿應該足夠你研究很長時間。」

    「所以我為你選定的最後一卷手稿並不是什麼尚未公開的知識成果，而是這封......」

    「信。」

    ........

    註：

    昨天7600，今天8400字，通宵碼到現在，求點月票不過分吧？